Computing the Mostar Index in Networks with Applications to Molecular Graphs

Document Type : Research Paper

Author

University of Maribor, Faculty of Natural Sciences and Mathematics

Abstract

Recently, a bond-additive topological descriptor, named as the Mostar index, has been introduced as a measure of peripherality in networks. For a connected graph $G$, the Mostar index is defined as $Mo(G) = \sum_{e=uv \in E(G)} |n_u(e) - n_v(e)|$, where for an edge $e=uv$ we denote by $n_u(e)$ the number of vertices of $G$ that are closer to $u$ than to $v$ and by $n_v(e)$ the number of vertices of $G$ that are closer to $v$ than to $u$. In the present paper, we prove that the Mostar index of a weighted graph can be computed in terms of Mostar indices of weighted quotient graphs. Inspired by this result, several generalizations to other versions of the Mostar index already appeared in the literature. Furthermore, we apply the obtained method to benzenoid systems, tree-like polyphenyl systems, and to a fullerene patch. Closed-form formulas for two families of these molecular graphs are also deduced.

Keywords


1.  Y‎ . ‎ Alizadeh‎ , ‎ M‎ . ‎ Azari‎  and ‎ T‎ . ‎ Došlić‎ , ‎ Computing the eccentricity-related invariants
of  single-defect  carbon  nanocones‎ ,  ‎ J‎ .  ‎ Comput‎ .  ‎ Theor‎ .  ‎ Nanosci.  10  (2013)  1297–
1300‎ .
2.  M‎ . ‎ Arockiaraj‎ , ‎ J‎ . ‎ Clement‎‎  and  ‎ N‎ . ‎ Tratnik‎ ,  ‎ Mostar indices of carbon nanostructures
and  circumscribed  donut  benzenoid  systems‎ ,  ‎ Int‎ .  ‎ J‎ .  ‎ Quantum  Chem.  119  (2019)
e26043‎
3.  M‎ .  ‎ Arockiaraj‎ ,  ‎ J‎ .  ‎ Clement‎ ,  ‎ N‎ .  ‎ Tratnik‎ ,  ‎ S‎ .  ‎ Mushtaq‎‎  
and  ‎ K‎ .  ‎ Balasubramanian‎ ,  ‎ Weighted  Mostar  indices  as  measures  of  molecular
peripheral  shapes  with  applications  to  graphene‎ ,  ‎ graphyne  and  graphdiyne
nanoribbons‎ , ‎ SAR QSAR Environ‎ . ‎ Res. 31 (2020) 187–208‎ .
4.  M‎ .  ‎ Arockiaraj‎ ,  ‎ S‎ .  ‎ Klavţar‎ ,  ‎ S‎ .  ‎ Mushtaq‎   ‎ and  ‎ K‎ .  ‎ Balasubramanian‎ ,  ‎ Distance-based
topological  indices of nanosheets‎ ,  ‎ nanotubes and nanotori of     , J‎ . ‎ Math‎ .  ‎ Chem.
57 (2019) 343–369‎ .
5.  H‎ .  ‎ Bian‎   ‎ and  ‎ F‎ .  ‎ Zhang‎ ,  ‎ Tree-like  polyphenyl  systems  with  extremal  Wiener
indices‎ , ‎ MATCH Commun‎ . ‎ Math‎ . ‎ Comput‎ . ‎ Chem. 61 (2009) 631–642‎ .
6.  S‎ .  ‎ Brezovnik‎‎   and  ‎ N‎ .  ‎ Tratnik‎ ,  ‎ General  cut  method  for  computing  Szeged-like
topological  indices with  applications  to molecular  graphs‎ ,  ‎ Int‎ .  ‎ J‎ .  ‎ Quantum Chem.‎  
121 (2021) e26530‎ .
7.  S‎ . ‎ Brezovnik‎‎  and  ‎ N‎ .  ‎ Tratnik‎ , ‎ New methods for calculating the degree distance and
the Gutman index‎ , ‎ MATCH Commun‎ . ‎ Math‎ . ‎ Comput‎ . ‎ Chem. 82 (2019) 111–132‎ .
8.  B.  Chazelle‎ ,  ‎ Triangulating  a  simple  polygon  in  linear  time‎ ,  ‎   Discrete
Comput‎ . ‎ Geom. 6 (1991) 485–524‎ .
9.  A‎ .  ‎ Chen‎ ,  ‎ X‎ .  ‎ Xiong‎‎  and  ‎ F‎ .  ‎ Lin‎ ,  ‎ Distance-based  topological  indices of  the  tree-like
polyphenyl systems‎ , ‎ Appl‎ . ‎ Math‎ . ‎ Comput. 281 (2016) 233−242‎ .
10.  ‎ V. Chepoi‎ , ‎ On distances in benzenoid systems‎ , ‎ J‎ . ‎ Chem‎ . ‎ Inf‎ . ‎ Comput‎ . ‎ Sci. 36 (1996)
1169–1172‎ .
11.  ‎ V. Chepoi‎  and ‎ S. Klavţar‎ , ‎ Distances in benzenoid systems‎ : ‎ Further developments‎ , ‎  
Discrete Math. 192 (1998) 27–39‎ .
12. M.  Črepnjak‎‎   and  ‎ N.  Tratnik‎ ,  ‎ The  Szeged  index  and  the Wiener  index  of  partial
cubes with applications  to chemical graphs‎ ,  ‎ Appl‎ .  ‎ Math‎ .  ‎ Comput. 309 (2017) 324–
333‎ .
13. K‎ .  ‎ Deng‎‎  and  ‎ S‎ .  ‎ Li‎ ,  ‎ Extremal catacondensed benzenoids with respect  to  the Mostar
index, J‎ . ‎ Math‎ . ‎ Chem. 58 (2020) 1437–1465‎ .
14. K‎ . ‎ Deng‎  and ‎ S‎ . ‎ Li‎ , ‎ On the extremal values for the Mostar index of trees with given
degree sequence‎ , ‎ Appl‎ . ‎ Math‎ . ‎ Comput. 390 (2021) 125598‎ .
15. A. A. Dobrynin‎ ,  ‎ I. Gutman‎ ,  ‎ S. Klavţar‎‎  and  ‎ P. Ţigert‎ , Wiener  index of hexagonal
systems‎ , ‎  Acta Appl‎ . ‎ Math. 72 (2002) 247–294‎ .
16. T‎ .  ‎ Došlić‎ ,  ‎ I‎ .  ‎ Martinjak‎ ,  ‎ R‎ .  ‎ Škrekovski‎ ,  ‎ S‎ .  ‎ Tipurić Spuţević‎‎   and  ‎ I‎ .  ‎ Zubac‎ ,  ‎ Mostar
index‎ , ‎ J‎ . ‎ Math‎ . ‎ Chem. 56 (2018) 2995–3013‎ .
17. J‎ .  ‎ E‎ .  ‎ Graver‎   ‎ and  ‎ C‎ .  ‎ M‎ .  ‎ Graves‎ ,  ‎ Fullerene patches  I‎ ,  ‎ Ars Math‎ .  ‎ Contemp. 3  (2010)
109–120‎ .
18.  ‎ I‎ .  ‎ Gutman‎   ‎ and  ‎ S.  J‎ .  ‎ Cyvin‎ ,  ‎ Introduction  to  the  Theory  of  Benzenoid
Hydrocarbons‎ , ‎ Springer-Verlag‎ , ‎ Berlin‎ , ‎ 1989‎ .
19.   I‎ .  ‎ Gutman‎‎   and  ‎ G‎ .  ‎ Dömötör‎ ,  ‎ Wiener  numbers  of  polyphenyls  and
phenylenes‎ , ‎ Z‎ . ‎ Naturforsch.‎  ‎ 49a (1994) 1040–1044‎ .
20.  ‎ R‎ .  ‎ Hammack‎ ,  ‎ W‎ .  ‎ Imrich‎   and  ‎ S‎ .  ‎ Klavţar‎ ,  ‎ Handbook  of  Product  Graphs‎ ,  ‎ Second
Edition‎ , ‎ CRC Press‎ , ‎ Taylor & Francis Group‎ , ‎ Boca Raton‎ , ‎ 2011‎ .
21. S‎ .  ‎ Huang‎ ,  ‎ S‎ .  ‎ Li‎‎   and  ‎ M‎ .  ‎ Zhang‎ ,  ‎ On  the  extremal  Mostar  indices  of  hexagonal
chains‎ , ‎ MATCH Commun‎ . ‎ Math‎ . ‎ Comput‎ . ‎ Chem. 84 (2020) 249–271‎ .
22.  ‎ S. Klavţar‎‎   and  ‎ M.  J. Nadjafi-Arani‎ ,  ‎ Cut method‎ :  ‎ update  on  recent  developments
and equivalence of independent approaches‎ , ‎ Curr‎ . ‎ Org‎ . ‎ Chem. 19 (2015) 348–358‎ .
23. S.  Klavţar‎‎   and  ‎ M.  J.  Nadjafi-Arani‎ ,  ‎ Wiener  index  in  weighted  graphs  via
unification of   
-classes‎ , ‎ European J‎ . ‎ Combin. 36 (2014) 71–76‎ .
24. X‎ . ‎ Li‎‎  and ‎ M‎ . ‎ Zhang‎ , ‎ A Note on the computation of revised (edge-)Szeged index in
terms of canonical  isometric embedding‎ ,  ‎ MATCH Commun‎ .  ‎ Math‎ .  ‎ Comput‎ .  ‎ Chem.
81 (2019) 149–162‎ .
25. A‎ .  ‎ Tepeh‎ ,  ‎ Extremal  bicyclic  graphs  with  respect  to  Mostar
index‎ , ‎ Appl‎ . ‎ Math‎ . ‎ Comput. 355 (2019) 319–324‎ .
26.   N‎ .  ‎ Tratnik‎ ,  ‎ Computing  weighted  Szeged  and  PI  indices  from  quotient
graphs‎ , ‎ Int‎ . ‎ J‎ . ‎ Quantum Chem. 119 (2019) e26006‎ .
27. N‎ .  ‎ Tratnik‎ ,  ‎ The Graovac-Pisanski  index  of  zig-zag  tubulenes  and  the  generalized
cut method‎ , ‎ J‎ . ‎ Math‎ . ‎ Chem. 55 (2017) 1622–1637‎